Session normale 2013

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On considère l a fonction numérique `f` définie sur `R` par ` f(x)= (x-2)^2e^x `

et soit `C_f` sa courbe représentative dans un repère orthonormé `(O, vec(i) , vec(j)) `

1a) Montrer que `lim_{ x to +infty} f(x) = +infty `

b) Montrer que ` lim_{ x to +infty} (f(x))/x = +infty ` puis déduire que la courbe `C_f` admet au voisinage de `+infty ` une branche parabolique dont on déterminera la direction

2a) Vérifier que pour tout ` x in R : f(x)= x^2e^x -4xe^x +4e^x `

b) Montrer que ` lim_{ x to -infty} f(x)= 0 ` et interpréter géométriquement ce résultat

3a) Montrer que `forall x in R : f'(x)= x(x-2)e^x `

b) Montrer que `f` est croissante su chacun des intervalles `]-infty , 0]` et `[2,+infty[` et que `f` est décroissante sur `[0,2]`

c) Dresser le tableau des variations de `f` sur `R`

4a) Montrer que ` forall x in R : f''(x)= (x^2-2)e^x ` puis en déduire que la courbe `C_f` admet deux points d'inflexion

b) Tracer la courbe `C_f `

1 a) Montrer que `lim_{ x to +infty} f(x) = +infty `

On a ` lim_{ x to +infty} (x-2)^2 = lim_{ h to +infty} h^2 = +infty `

et on a ` lim_{ x to +infty} e^x = +infty `

`=> lim_{ x to +infty} (x-2)^2e^x = +infty `

`=> lim_{ x to +infty} f(x)= +infty `

b) Montrer que ` lim_{ x to +infty} (f(x))/x = +infty ` puis déduire que la courbe `C_f` admet au voisinage de `+infty ` une branche parabolique dont on déterminera la direction

On a ` lim_{ x to +infty} (f(x))/x = lim_{ x to +infty} (x-2)^2 xx e^x/x = +infty `

car ` lim_{ x to +infty} (x-2)^2 = lim_{ h to +infty} h^2 = +infty `

et `lim_{ x to +infty} e^x/x = +infty `

`=> lim_{ x to +infty} (f(x))/x = +infty `

la courbe `C_f` admet une branche parabolique dirigée vers l'axe des ordonnées au voisinage de `+infty `

2a) Vérifier que pour tout ` x in R : f(x)= x^2e^x -4xe^x +4e^x `

Soit ` x in R ` on a ` f(x)= (x-2)^2e^x `

` = (x^2-4x+4)e^x `

` = x^2e^x -4xe^x +4e^x `

` forall x in R : f(x)= x^2e^x -4xe^x +4e^x`